Soal Persamaan Kuadrat-Linear dan Kuadrat-kuadrat

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.
x + y + 2 = 0
y = x² – x – 2
Penyelesaian:
Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.
y = −x – 2
Subtitusikan nilai y = −x – 2  ke persamaan y = x² – x – 2 sehingga diperoleh:
⇒ −x – 2 = x² – x – 2
⇒ x² – x + x – 2 + 2 = 0
⇒ x² = 0
⇒ x = 0
Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:
⇒ y = −(0) – 2
⇒ y = –2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.

2. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.
2x + 3y = 8
4x² – 12xy + 9y² = 16
Jawab:
Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.
⇒ 4x² – 12xy + 9y² = 16
⇒ (2x – 3y)² – 16 = 0
⇒ (2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0
⇒ 2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0
Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua SPLDV, yaitu sebagai berikut.
2x + 3y = 8
………. SPLDV pertama
2x – 3y + 4 = 0

2x + 3y = 8
………. SPLDV kedua
2x – 3y – 4 = 0

Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV yang telah dibahas dalam artikel sebelumnya. Sebagai contoh, kita gunakan metode gabungan.
Menyelesaikan SPLDV  pertama
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y + 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
=
8

2x – 3y
=
–4
−
6y
=
12
y
=
2

Kemudian subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ 2x + 3(2) = 8
⇒ 2x + 6 = 8
⇒ 2x = 8 – 6
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (1, 2).
Menyelesaikan SPLDV  Kedua
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y – 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
=
8

2x – 3y
=
4
−
6y
=
4
y
=
4/6

y
=
2/3

Kemudian subtitusikan nilai y = 2/3 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ 2x + 3(2/3) = 8
⇒ 2x + 6/3 = 8
⇒ 2x + 2 = 8
⇒ 2x = 8 – 2
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (3, 2/3).
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(1, 2), (3, 2/3)}.

3. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.
2x + 3y = 8
4x2 – 12xy + 9y2 = 16
Jawab:
Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.
⇒ 4x2 – 12xy + 9y2 = 16
⇒ (2x – 3y)2 – 16 = 0
⇒ (2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0
⇒ 2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0
Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua SPLDV, yaitu sebagai berikut.
2x + 3y = 8
………. SPLDV pertama
2x – 3y + 4 = 0

2x + 3y = 8
………. SPLDV kedua
2x – 3y – 4 = 0

Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV yang telah disebutkan sebelumnya.Sebagai contoh, kita gunakan metode gabungan.
Menyelesaikan SPLDV  pertama
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y + 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
=
8

2x – 3y
=
–4
−
6y
=
12
y
=
2

Kemudian subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ 2x + 3(2) = 8
⇒ 2x + 6 = 8
⇒ 2x = 8 – 6
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (1, 2).
Menyelesaikan SPLDV  Kedua
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y – 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
=
8

2x – 3y
=
4
−
6y
=
4
y
=
4/6

y
=
2/3

Kemudian subtitusikan nilai y = 2/3 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ 2x + 3(2/3) = 8
⇒ 2x + 6/3 = 8
⇒ 2x + 2 = 8
⇒ 2x = 8 – 2
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (3, 2/3).
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(1, 2), (3, 2/3)}.

4. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = x²
y = 2x² – 3x
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x² ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x² – 3x sehingga diperoleh:
⇒ x² = 2x²
⇒ 2x² – x² – 3x = 0
⇒ x² – 3x = 0
⇒ x(x – 3) = 0
⇒ x = 0 atau x = 3
Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x².
■ Untuk x = 0 diperoleh:
⇒ y = x²
⇒ y = (0)²
⇒ y = 0
■ Untuk x = 3 diperoleh:
⇒ y = x²
⇒ y = (3)²
⇒ y = 9
Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x² dengan parabola y = 2x² – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.


5. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = x2 – 1
y = x2 – 2x – 3
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:
⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3
⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1
⇒ 2x = –2
⇒ x = –1
Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:
⇒ y = x2 – 1
⇒ y = (–1)2 – 1
⇒ y = 1 – 1
⇒ y = 0
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.


6. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = −2x²
y = x² + 2x + 1
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = −2x² ke bagian kuadrat yang kedua y = x2²+ 2x + 1 sehingga diperoleh:
⇒ −2x² = x² + 2x + 1
⇒ 2x² + x² + 2x + 1 = 0
⇒ 3x² + 2x + 1 = 0
Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya adalah bilangan negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini.
D = b² – 4ac
Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga:
⇒ D = (2)² – 4(3)(1)
⇒ D = 4 – 12
⇒ D = –8
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x² dan y = x² + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini.


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Pertidaksamaan Kuadrat-Linear dan Kuadrat-kuadrat

Gambar
Sebelum membahas sistem pertidaksamaan, akan dibahas terlebih dahulu secara tersendiri pertidaksamaan linier dan pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Pertidaksamaan linier dua variabel yaitu suatu pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi satu. Penyelesaian dari pertidaksamaa linier dua variabel ini merupakan gambar daerah pada grafik Catesius (sumbu-XY) yang dibatasi oleh suatu garis linier. Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan linier y ≤ –2x + 6, dengan x dan y anggota real. Jawab: Apabila daerah penyelesaian pertidaksamaan linier diketahui dan garis batasnya melalui dua titik tertentu, maka pertidaksamaan liniernya dapat ditentukan. Jika kedua titik yang diketahui berada pada sumbu-X dan sumbu-Y, maka persamaan liniernya ditentukan dengan rumus: Sedangkan pertidaksamaan kuadrat dua variabel (x dan y) merupakan suatu pertidaksamaan dengan variabel x memiliki pangkat tertingg
Baca selengkapnya

FUNGSI TRIGONOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Gambar
Nabillah Rizky Amaliah (29) X IPS 3 Fungsi trigonometri merupakan  suatu fungsi yang grafiknya berulang secara terus menerus dalam periode tertentu.  Fungsi dari periode itu sendiri merupakan suatu jarak antara dua puncak/lembah atau jarak antara awal puncak dan akhir lembah. Selain itu, terdapat amplitudo yang merupakan setengah dari selisih nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Rumus amplitudo sebagai berikut: Fungsi trigonometri sederhana meliputi fungsi sinus, fungsi cosinus dan fungsi tangen. Masing-masing fungsi tersebut dijelaskan dalam bentuk  grafik baku fungsi trigonometri  seperti berikut: Grafik Fungsi Sinus, y = sin x Nilai dari sinus adalah -1 ≤ sin (x) ≤ 1   Grafik Fungsi Cosinus, y = cos x Nilai dari cosinus adalah -1 ≤ cos (x) ≤ 1   Grafik Fungsi Tangen, y = tan x Grafik tangen ini tidak mempunyai nilai maksimum. Selain itu terdapat grafik tidak baku pada fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Bentuk fungsinya adalah:   Fungsi trigonometri memiliki nilai mini
Baca selengkapnya

SUDUT-SUDUT BERELASI

Apa itu sudut berelasi? Sudut berelasi adalah sudut yang memiliki hubungan anatara satu dengan yang lain seperti hubungan jumlahnya atau selisih. Misal sudut a° dapat dikatakan berelasi dengan sudut – sudut yang besarnya (90°+ a°), (180° + a°), (270°+a°), (360°+a°), atau sudut (-a°). Dengan adanya pola-pola kusus pada sudut yang berelasi, kita dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut dari sudut relasi ataupun sebaliknya. Rumus Sudut Berelasi Trigonometri Ada beberapa rumus untuk sudut berelasi trigonometri yang biasa digunakan, diantaranya yaitu: rumus sudut berelasi berkuadran I, rumus sudut berelasi berkuadran II, rumus sudut berelasi berkuadran III dan rumus sudut berelasi berkuadran IV. Rumus Sudut Berelasi Berkuadran I Sudut – sudut kuadran I ini dihasilkan dari α lancip, maka (90° − α) menghasilkan sudut – sudut kuadran I. Di dalam teori trigonometri, relasi sudut – sudut berelasi in dapat dinyatakan sebagai berikut : sin (90° − α) = cos α cos (90° − α) = sin
Baca selengkapnya