SOAL DAN PEMBAHASAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Soal Nomor 1
Diketahui grafik fungsi $y_1=5\sin x$ dan $y_2=\sin 5x$. Pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. periode $y_1$ = periode $y_2$
B. amplitudo $y_1$ = amplitudo $y_2$
C. periode $y_1=\frac{1}{5}$ kali periode $y_2$
D. amplitudo $y_1=\frac{1}{5}$ kali amplitudo $y_2$
E. amplitudo $y_1=5$ kali amplitudo $y_2$

$PembahasanBentuk umum fungsi sinus tersebut adalah y=asinkxy=asin⁡kx.Periode:Periode y1=5sinxy1=5sin⁡x dengan k=1k=1 adalah P1=360∘1=360∘P1=360∘1=360∘, sedangkan periode y2=sin5xy2=sin⁡5x dengan k=5k=5 adalah P2=360∘5=72∘P2=360∘5=72∘.Dapat disimpulkan bahwa periode y1y1 sama dengan 5 kali periode y2y2.Amplitudo:Amplitudo y1=5sinxy1=5sin⁡x dengan a=5a=5 adalah A1=|a|=|5|=5A1=|a|=|5|=5, sedangkan amplitudo y2=sin5xy2=sin⁡5x dengan a=1a=1 adalah A2=|a|=|1|=1A2=|a|=|1|=1. Dapat disimpulkan bahwa amplitudo y1y1 5 kali amplitudo y2y2.Pernyataan yang benar ada pada pilihan E.Soal Nomor 2Grafik f(x)=2cosxf(x)=2cos⁡x memotong sumbu-XX di titik berkoordinat ⋯⋅⋯⋅A. (30∘,0)(30∘,0)              D. (90∘,0)(90∘,0)B. (45∘,0)(45∘,0)              E. (180∘,0)(180∘,0)C. (60∘,0)PembahasanApabila grafik memotong sumbu-XX, maka nilai f(x)=y=0f(x)=y=0. Dengan demikian,f(x)=2cosx⇒0=2cosx⇔cosx=0f(x)=2cos⁡x⇒0=2cos⁡x⇔cos⁡x=0Nilai xx yang membuat cosxcos⁡x bernilai 0 adalah 90∘90∘.Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat (90∘,0)(90∘,0)(Jawaban D)Soal Nomor 3Nilai minimum f(x)=2sin(x–π3)+1f(x)=2sin⁡(x–π3)+1 adalah ⋯⋅⋯⋅A. −3−3                      C. −1−1                   E. 33B. −2−2                      D. 11            PembahasanNilai minimum f(x)=2sin(x–π3)+1f(x)=2sin⁡(x–π3)+1 tercapai ketika sin(x−π3)sin⁡(x−π3) bernilai sekecil-kecilnya, yaitu sin(x−π3)=−1sin⁡(x−π3)=−1. Untuk itu,fmin(x)=2(−1)+1=−1fmin(x)=2(−1)+1=−1Jadi, nilai minimum f(x)f(x) adalah −1−1(Jawaban C)Soal Nomor 4Fungsi f(x)=2–5sinπx6f(x)=2–5sin⁡πx6 untuk −5≤x≤1−5≤x≤1 mempunyai nilai maksimum pp di titik x=qx=q. Nilai p+q=⋯⋅p+q=⋯⋅A. 77                      C. 55                     E. 33B. 66                      D. 44           PembahasanAgar f(x)=2–5sinπx6f(x)=2–5sin⁡πx6 , nilai sinπx6sin⁡πx6 haruslah sekecil mungkin (negatif). Karena nilai minimum sinus adalah −1−1, maka dalam hal inisinπx6=−1sinπx6=sin3π2πx6=3π2πx=9πx=9sin⁡πx6=−1sin⁡πx6=sin⁡3π2πx6=3π2πx=9πx=9Nilai xx yang diperoleh berada di luar interval sehingga tidak memenuhi.Di kasus lain,sinπx6=−1sinπx6=−sinπ2πx6=−π2πx=−3πx=−3sin⁡πx6=−1sin⁡πx6=−sin⁡π2πx6=−π2πx=−3πx=−3Nilai x=−3=qx=−3=q ini memenuhi interval yang diberikan. Ini berarti, nilai maksimum f(x)f(x) adalahf(−3)=2−5sinπ(−3)6=2−5(−1)=7f(−3)=2−5sin⁡π(−3)6=2−5(−1)=7Jadi, nilai p+q=7+(−3)=4p+q=7+(−3)=4(Jawaban D)Soal Nomor 5Diketahui f(x)=√2cos3x+1f(x)=2cos⁡3x+1. Jika nilai maksimum dan minimum f(x)f(x) berturut-turut adalah pp dan qq, maka nilai p2+q2p2+q2 adalah ⋯⋅⋯⋅A. 11                     C. 33                     E. 66B. 22                     D. 44      PembahasanNilai maksimum f(x)=√2cos3x+1f(x)=2cos⁡3x+1 tercapai ketika cos3xcos⁡3x bernilai sebesar-besarnya, yaitu cos3x=1cos⁡3x=1. Untuk itu,fmaks(x)=p=√2(1)+1=√2+1fmaks(x)=p=2(1)+1=2+1Nilai minimum f(x)=√2cos3x+1f(x)=2cos⁡3x+1 tercapai ketika cos3xcos⁡3x bernilai sekecil-kecilnya, yaitu cos3x=−1cos⁡3x=−1. Untuk itu,fmin(x)=q=√2(−1)+1=−√2+1fmin(x)=q=2(−1)+1=−2+1Dengan demikian,p2+q2=(√2+1)2+(−√2+1)2=(2+2√+1)+(2–2√+1)=6p2+q2=(2+1)2+(−2+1)2=(2+22+1)+(2–22+1)=6Jadi, nilai dari p2+q2=6p2+q2=6(Jawaban E)$